Es ist hilfreich, diesen Einzug zu dokumentieren (bspw. durch die Rechnung des Umzugsunternehmens). Kraft Gesetz müsst ihr den Wohnungsgeber über den Einzug informieren. Dieser muss den Einzug (und nicht die Schlüsselübergabe - das machen viele falsch) in der Wohnungsgeberbescheinigung festhalten. Und mit dieser rennt die Tochter zum Meldeamt.

Ob ihr nun einen Untermietvertrag macht oder nicht, ist an sich nicht entscheidend. Im Zweifel ist es ein Artefakt mehr, mit dem man belegt, dass man selbst diese Wohnung auch gar nicht inne hat.

Melderechtlich redet man erst dann von einer Hauptwohnung (es gibt den Begriff Hauptwohnsitz nicht), wenn es mehrere Wohnungen gibt. Ansonsten wäre es die alleinige Wohnung. Für die Haupt- oder alleinige Wohnung würde ja eben keine Zweitwohnungsteuer in Stuttgart anfallen. Für eine Nebenwohnung anderswo, hängt es eben von der jeweiligen Kommune ab (und dann ist die dortige Miete bzw. die dortigen Regeln maßgeblich).