» Deswegen habe ich bei dem Formular nur 3 Tage angegeben, war das falsch oder unklug>
Das war falsch und führt zur Besteuerung. Wo der Lebensmittelpunkt ist, steht für Dich fest, ist melderechtlich aber völlig uninteressant. Wie viel Zeit Du konkret in der jeweiligen Wohnung verbringst, ist auch nicht unbedingt von Bedeutung. Was melderechtlich zählt, ist die „vorwiegend genutzte Wohnung“ - und die ist bei einer 5–Tage-Woche die Wohnung in Köln, wenn Du nicht mehrmals in der Woche nach Aachen fährst. Das nachzuweisen ist Deine Sache. Wenn Du es kanst, lohnt sich eine Klage - gilt ja auch für die kommenden Jahre.

» Muß man denn in Köln auch arbeiten um von der Steuer aus beruflichen Gründen befreit werden zu können>
Nein, muss man nicht. Es sei denn, das Gericht verbiegt sich vollends. Faustformel: Wenn bei einem volljährigen Alleinstehenden die Wohnung ween der vorwiegenden Nutzung als Hauptwohnung zu registrieren wäre, darf keine Zweitwohnungsteuer erhoben werden. Auf den Grund des Aufenthalts darf es überhaupt nicht ankommen.

» Wenn man dagegen klagt, bewegt man sich doch auf sehr dünnem Eis oder>
Und bricht sogar meist ein. Die Kommunen können eigentlich in ihre Satzung schreiben, was sie wollen, denn viele Gerichte sehen es als ihre Aufgabe an, jeden satzungsrechtlichen Unfug „verfassungskonform auszulegen“- was ja meist möglich ist, wenn man es unbedingt will. Das Rechtsschutzbedürnis des Bürgers spielt da keine Rolle. Aber die Frage betrifft Dich nur am Rande, wenn die Kölner im melderechtlichen Sinn die „vorwiegend genutzte Wohnung“ ist. Im Deinem Fall kann man sogar sagen, dass der Satzung die nötige Bestimmtheit fehlt, denn auf den „vorwiegenden Aufenthalt im Stadtgebiet“ darf es nicht ankommen.