Mit „Hauptwohnsitz in BONN“ kann ich nichts anfangen. Maßgeblich ist die melderechtliche Registrierung – entweder mit alleiniger Wohnung oder Haupt- und Nebenwohnung. Zu Haupt- und Nebenwohnung hier auf der Startseite im Menü unter „Hauptwohnung“ nachlesen. Dann ggf. noch Mal fragen.
Inhaber einer Wohnung ist üblicherweise der Eigentümer, Mieter oder sonstige Nutzungsberechtigte, der die Wohnung für seinen persönlichen Lebensbedarf nutzt oder vorhält. Maßgeblich ist die tatsächliche Verfügungsmacht und die Verfügungsbefugnis hinsichtlich der Wohnung – die kann der Eigentümer/Mieter usw. auch einem Dritten überlassen, der dadurch zum Inhaber wird.
Wenn ihr mit Nebenwohnung in Koblenz registriert seid, wird die Stadt von Euch die ZWS verlangen.

Jedoch versteh ich sie nicht ganz
Was genau meinst du mit "Inne hat"?

Im Melderecht ist gereglt, dass der sich zu melden hat, der eine Wohnung "bezieht" (und fortan "inne hat", bis er auszieht). Da die Mutter in dem Falle die Wohnung nicht bezieht, muss sie sich auch nicht melden.

Natürlich wird es Nachfragen geben - und im Zweifel muss die Kommune oder auch ein Gericht überzeugt werden, dass wenn die Mutter im Mietvertrag steht, diese nicht selbst nutzt. Über die Form dieser Verträge kann man geteilter Meinung sein. Dem Vermieter geht es in erster Linie um Sicherheit. Auch wenn das Gesetz eine Kaution vorsieht, wollen Vermieter gerne mehr - aber dafür gibt es im Zweifel das Instrument "Bürgschaft".

Zur Idee des Untermietvertrages: Ich weiß es nicht. Ihr steht ja ohnehin im Vertrag. Wenn es die Kommune gerne sehen will - schadet im Zweifel nicht.

Eine weitere Frage hätte ich auch noch: Ist das ZWS Gesetz von Bonn oder von Koblenz für uns relevant, wenn der Hauptwohnsitz in Bonn liegt?

Mal von den Stadtstaaten abgesehen, ist die ZWS in Satzungen geregelt, die die Kommunen erlassen. Maßgeblich ist der Ort, an dem sich die Nebenwohnung befindet. Aus Sicht deiner Mutter wäre die Streitfrage Koblenz. Ihr habt ja keine Zweitwohnung, oder?