Es macht keinen Unterschied, wer einen Mietvertrag unterzeichnet. Fürs Melderecht (und damit auch diese Steuer) ist nur entscheidend, wer eine Wohnung bezieht. Also wer da drin wohnt. Man kann auch Wohnungen mieten, ohne sie je bezogen zu haben. Auch wenn das im Einzelfall dann schwerer belegbar ist.

Jetzt könnte deine Freundin den Mietvertrag mit unterzeichnen, aber nicht da drin wohnen (sondern nur besuchsweise vorbeikommen). Aber eigentlich, so wie du es schildest, wohnt sie da drin - und sie müsste sich dann festlegen, wo die Hauptwohnung (also der Ort, wo sie sich überwiegend aufhält) liegt und dann ggf. ZWS zahlen.

Für das BAföG ist das Ganze unrelevant. Das interessiert sich nicht für Meldefragen bzw. was du mit deinem Geld machst. Maximal von Bedeutung ist der Anteil für die Wohnungskosten. Da dürfte aber nur der Studienort von Bedeutung sein - aber das ist keine Frage dieser Steuer mehr.

Ob es die Steuer gibt: gerne Posten. Ich fülle die Stadtdatenbank immer noch.