» Erstmal kann ich keine Infos finden, ob Ludwigsburg eine ZWS erhebt ...
Gefunden habe ich die Satzung auch nicht. Aber wenn eine Stadt auf ihrer Homepage folgenden Unsinn veröffentlicht, muss man annehmen, dass sie nicht nur nicht weiß, um was es geht, sondern faktisch die Zweitwohnungsteuer auch erhebt (bewährtes kommunalpolitisches Prinzip - heißt offiziell wohl "kommunale Selbstverwaltung").

„Diese örtliche Aufwandsteuer wird durch das Leistungsfähigkeitsprinzip gerechtfertigt. Die Zweitwohnung ist demnach Ausdruck besonderer wirtschaftlicher Leistungsfähigkeit. Außerdem muss die Gemeinde für auswärtige Inhaber von Zweitwohnungen Aufwendungen erbringen. Von den auswärtigen Wohnungsbesitzern fließen ihnen aber nicht in gleicher Weise wie von den einheimischen Dauerbewohnern Einnahmen zu (Äquivalenzprinzip).“

und im Zusammenhang mit dem Melderecht

„Als Nebenwohnung (oder auch Zweitwohnung) wird jede weitere Wohnung im Inland bezeichnet.“

» ...frage ich mich, ob ich mich in diesem Fall überhaupt mit einem Zweitwohnsitz anmelden muss, da ich ja nur bei dieser Familie unterkomme,
Das spielt für die Meldepflicht überhaupt keine Rolle .

» und nach 3 Monaten in eine andere Wohnung in Luwigsburg ziehe>!
Das ist entscheidend. Du bist nicht meldepflichtig. Denn dazu besagt § 21 des Meldegesetzes Baden Württemberg u.a.
„(2) Meldepflichten werden ferner nicht begründet, wenn
1. ein Einwohner für eine Wohnung im Inland gemeldet ist und für nicht länger als sechs Monate eine Wohnung bezieht,“